La derivada es un concepto fundamental en Cálculo diferencial que representa la tasa de cambio instantánea de una función con respecto a una de sus variables.
Concepto Intuitivo:
Imagina que tienes una función ( f(x) ) que describe la posición de un objeto en función del tiempo. La derivada, ( f’(x) ), te dirá cómo esta posición cambia instantáneamente en un punto específico: en otras palabras, la velocidad instantánea del objeto en ese momento.
Definición Formal:
La derivada de una función ( f(x) ) respecto a ( x ) se define como el límite cuando ( \Delta x ) tiende a cero del cociente de diferencias:
Si este límite existe, decimos que la función ( f(x) ) es diferenciable en ese punto.
Aplicaciones:
Las derivadas tienen aplicaciones en diversas áreas como física, economía, biología, y por supuesto, en matemáticas puras. En Física, por ejemplo, la derivada primera de la posición respecto al tiempo es la velocidad, y la segunda derivada es la Aceleración.
Interpretación Gráfica:
En una gráfica de la función ( f(x) ), la derivada en un punto específico representa la pendiente de la recta tangente a la curva de la función en ese punto.
Cálculo de Derivadas:
Existen diversas reglas y técnicas para calcular derivadas, como la regla del producto, la regla del cociente, y la regla de la cadena, entre otras. También hay tablas de derivadas de funciones comunes que facilitan el cálculo.